1. 개요
極 限 ( 範 疇 論 )/limit극한은 범주론에서 함자를 통해 정의되는 대상과 사상의 집합적 성질을 나타내는 개념이다. 극한은 특정한 다이어그램에서 모든 정보를 "가장 일반적인 방식"으로 수집하는 과정을 형식화한다. 극한의 쌍대 개념은 쌍대극한(colimit)으로, 이 둘은 범주론에서 핵심적인 대칭적 역할을 한다.
[math(\text{lim } F)]는 다이어그램 [math(F : J \to C)]의 정보를 집약한 대상 [math(L)]로 정의되며, "보편적인" 특성을 가진다.
2. 정의
2.1. 극한의 수학적 정의
범주 [math(C)]와 [math(J)]가 주어졌을 때, [math(J)]는 [math(C)]에서의 다이어그램을 나타낸다. [math(J)]로 정의된 다이어그램 [math(F : J \to C)]에 대한 극한 [math(\text{lim } F)]는 다음 두 가지 데이터로 구성된다:1. [math(C)]의 한 대상 [math(L)]
2. [math(J)]의 각 대상 [math(j)]에 대해 [math(F(j) \to L)]로 가는 사상의 집합 [math(\phi_j)]
이 데이터는 다음 조건을 만족한다:
- 모든 [math(j \to k)]에 대해, [math(\phi_k \circ F(j \to k) = \phi_j)]가 성립한다.
- [math(L)]와 [math(\phi_j)]는 위의 조건을 만족하는 "유일한" 데이터이다.
3. 성질
3.1. 보편 성질
극한은 보편 성질을 만족한다. 이는 특정한 다이어그램의 모든 정보를 유일한 방식으로 요약할 수 있음을 보장한다. 보편 성질은 극한이 "가장 일반적"인 대상임을 의미하며, 이는 범주론의 많은 구조에서 핵심적이다.3.2. 극한의 존재 조건
범주 [math(C)]에서 모든 다이어그램 [math(F : J \to C)]에 대해 극한이 존재하려면, [math(C)]는 특정 완비 범주(complete category)여야 한다. 완비 범주는 모든 작은 다이어그램에 대한 극한을 가지는 범주로 정의된다.4. 예시
4.1. 곱 (Product)
두 대상 [math(A, B \in C)]가 주어졌을 때, 이들의 곱은 다음과 같은 다이어그램의 극한이다:[math(\begin{array}{c}
P \\
\downarrow{\pi_1} \ \downarrow{\pi_2} \\
A \ \ B
\end{array})]
P \\
\downarrow{\pi_1} \ \downarrow{\pi_2} \\
A \ \ B
\end{array})]
곱은 두 대상을 하나의 대상 [math(P)]으로 묶으며, [math(P)]는 [math(A)]와 [math(B)]로 가는 투영 사상을 가진다.
4.2. 끝 (Terminal Object)
끝은 다이어그램이 없는 경우의 극한으로 간주될 수 있다. 범주 [math(C)]에서의 끝 [math(1)]은 모든 대상 [math(X \in C)]에 대해 유일한 사상 [math(X \to 1)]이 존재하는 대상을 의미한다.4.3. 당김 (Pullback)
주어진 사상 [math(f : A \to C)]와 [math(g : B \to C)]에 대해 당김은 다음과 같은 다이어그램의 극한이다:[math(\begin{array}{ccc}
P & \to & B \\
\downarrow & & \downarrow{g} \\
A & \xrightarrow{f} & C
\end{array})]
P & \to & B \\
\downarrow & & \downarrow{g} \\
A & \xrightarrow{f} & C
\end{array})]
당김은 두 사상이 공통으로 가지는 정보를 표현하는 대상 [math(P)]를 정의한다.
5. 응용
5.1. 범주론에서의 활용
극한은 위상수학, 대수학, 논리학 등 다양한 수학 분야에서 사용된다. 예를 들어, 위상 공간의 곱집합이나 환의 곱은 극한의 구체적인 사례이다.5.2. 쌍대극한과의 관계
극한과 쌍대극한은 서로 쌍대적인 개념으로, 범주의 대칭성과 이중성을 이해하는 데 중요한 도구로 사용된다. 예를 들어, 곱과 쌍대합(coproduct)은 각각 극한과 쌍대극한의 예이다.[math(\text{colim } F)]는 극한과 대칭적인 역할을 하며, 다이어그램의 "정보를 확장"하는 과정을 나타낸다.