1. 개요
서로 다른 용량의 용기들을 이용해 원하는 양을 얻어내는 문제이다.2. 문제 1
요시다 미쓰요시[1]가 쓴 책의 <진겁기>에 수록되어 있는 문제와 유사하다. 원본에서는 11이 아닌 10의 용량의 통이 있었다. 세부적으로는 가장큰 비커/양동이에만 물이 있거나 물을 마음대로 얻을 수 있는 식이다. 바리에이션으로 모래시계를 사용하는 버전도 있다.||<tablebordercolor=#8258fa>11L, 7L, 3L 사이즈의 통이 있다. 이들을 통해 정확히 5L의 물을 얻어야 할 때 어떻게 해야 할까? ||
- [ 해답 ]
- ||<tablebordercolor=#552582>이 문제의 해결법은
5L 양동이/비커를 구해온다
첫번째 방법- 3L 비커에 물을 받은 후 7L 비커에 붓는 행위를 3번 하면 7L 비커가 가득 차고 3L 비커에 2L의 액체가 남는다.
- 7L 비커를 11L 비커에 옮기고 3L 비커에 있는 2L를 7L 비커에 옮긴다.
- 다시 3L를 채운 후 7L비커에 옮긴다.
두번째 방법- 11L 비커에 물을 가득 받고
- 11L 비커에서 3L 비커로 물을 부어 8L만 남기고
- 3L 비커의 물을 7L 비커로 옮기거나 버리고
- 11L 비커에서 3L 비커로 물을 부으면 11L 비커에 5L만 남게 된다.
세번째 방법
* 11L 비커에 물을 가득 받고
* 11L 비커에서 7L 비커로 물을 부어 4L만 남기고
* 그 4L 물을 3L 비커로 옮겨 1L만 남기고
* 3L 비커를 비우고 7L비커에서 3L 비커로 물을 부어 4L를 남기고
* 그 물을 1L가 있는 11L 비커에 부으면 5L가 된다. ||
3. 문제 2
다이 하드 3에도 비슷한 문제가 나온바 있으며, 내용은 다음과 같다.
||<tablebordercolor=#8258fa>저울 폭탄의 폭발을 막기 위해서는 정확히 4갤런의 물을 올려놓아야 하는데, 주어진 물통은 3갤런과 5갤런들이 통 뿐이다. 4갤런을 만들기 위해서는 어떻게 해야할까? ||
- [ 해답 ]
- ||<tablebordercolor=#552582>이 문제도 해결법이 여러가지가 있으며, 영화에서는 이렇게 해결했다.
- 5갤런 통을 가득 채운다.
- 5갤런 통에 있는 물을 3갤런 통으로 옮겨 2갤런만 남긴다.
- 3갤런 통을 비우고 5갤런 통에 남아있는 물을 3갤런 통으로 옮긴다.
- 5갤런 통을 다시 채우고 3갤런 통에 비어있는 1갤런을 채우면 5갤런 통에는 4갤런이 남는다. ||
4. 해설
비슷한 문제를 더 풀어보고 싶다면 링크에 들어가자.- [해설 보기 / 접기]
- 좀 더 일반적인 해법으로 '작은 통에 있는 물을 큰 통에 옮기는 것을 반복'하다보면 원하는 물의 양을 무조건 얻을 수 있다. 문제 1의 경우 아예 3L통을 채우고 7L통을 채우는 행동을 5번 하면서 문제를 풀었고, 문제 2도 마찬가지로 3갤런들이 통을 채우고 5갤런짜리 통을 채우다 보면 마찬가지로 정답을 얻을 수 있다.
조금 더 수학적으로 접근해보면, 두 개의 통으로 만들어낼 수 있는 양은 통의 용량의 최대공약수와 관계가 있다. 바로 최대공약수의 배수 만큼은 만들어낼 수 있는 것. 예를 들어 10과 25의 경우 최대공약수가 5이므로 5의 배수(5, 10, 15, 20, 25)의 양만 만들 수 있고, 3과 5의 최대공약수는 1이므로 3갤런과 5갤런들이 통으로는 1부터 5까지 어떤 용량이건 만들 수 있게 된다. 즉, 두 수가 서로소인 경우 가장 큰 용량에 해당하는 모든 자연수의 양을 만들 수 있다는 것.
통을 채우는 것을 더한다고 하고, 통을 비우는 것을 빼는 것으로 생각하면 문제 1의 경우 3L통을 4번 채우고 7L통을 1번 비웠으므로 수식으로 나타내면 3×4-7×1=12-7=5로 5L가 정확히 나온다는 것을 알 수 있다. 마찬가지로 문제 2도 5갤런들이 통을 2번 채우고 3갤런 통은 2번 비웠으므로 5×2-3×2=4임이 나온다.
한편, 3×3-5×1=4로도 4를 만들 수 있는데, 이는 3갤런들이 통을 3번 채우고 5갤런 통에 붓다가 5갤런 통이 차면 비우는 과정을 반복하면 똑같이 4갤런 물을 만들 수 있음을 보인다. 따라서 작은 통에 물을 채워 큰 통을 붓는 것을 반복하면서 원하는 물의 양을 만들 수 있음과 동시에 반대로 큰 통에 채워서 작은 통으로 붓는 것을 반복해도 똑같은 결과를 얻을 수 있음을 알 수 있다. 즉, 사실상 노가다 하다보면 아예 불가능한 경우가 아닌 이상 언젠간 풀린다는 소리.
그래서 어떤 경우는 최소 횟수로 물을 옮기거나 사용할 물의 양을 정하는 제약조건을 부여하기도 한다.
5. 미디어 믹스
- 이 문제도 게임으로 많이 나온다. 미니게임으로 적당히 넣어두기 좋은 소재.
- 만화 트라우마에서도 잠깐 등장하며, 여기서는 범인이 3L(원본에선 3갤런)짜리 비커에 사은품으로 1L짜리 비커를 달아주는 마트에서 사오는 바람에 허무하게 클리어했다.
- 태합입지전 5에는 의술 미니게임으로 비슷한 게 등장한다. 이쪽은 3종류의 국자를 이용해서 정확히 약을 배합하는 문제.[2]
- 이 문제에서 착안한 모래시계 문제도 있다.
- 영화 다이하드 3에서도 등장한다.
6. 참고 자료
- 박경미 저. <박경미의 수학콘서트>. 동아시아. 2006년. 53~59p
[1]
에도 시대 주판과 수학 보급에 힘쓴 인물.
[2]
예: 8, 5, 4의 국자를 가지고 재료 1, 2, 3을 각각 8, 9, 1이 되도록 배합. 의술 레벨이 올라갈수록 재료와 만들어야 할 약, 조합해야 할 재료가 늘어난다.