1. 개요
再 配 列 可 能 素 數 / permutable prime재배열 가능 소수는 자릿수의 순서를 어떻게든 재배열하더라도 항상 소수가 되는 소수를 말한다. 예를 들어 소수 113은 자릿수의 순서를 131, 311로 재배열해도 소수이므로 재배열 가능 소수이다. 순열 소수, 절대 소수(absolute prime)라고도 한다.
2. 성질
- 한 자리 소수는 배열하는 방법이 한 가지밖에 없으므로 무조건 재배열 가능 소수이다.
- 두 자리 이상의 자연수의 경우 자리수에 0, 2, 4, 5, 6, 8이 들어가 있을 경우, 재배열할 때 짝수나 5의 배수가 될 수 있으므로 재배열 가능 소수가 될 수 없다.
- 재배열 가능 소수를 재배열해서 얻을 수 있는 또 다른 소수들 역시 재배열 가능 소수이다. 예를 들어 113이 재배열 가능 소수이므로 재배열해서 얻어지는 131, 311 역시 재배열 가능 소수이다.
- 모든 자릿수가 1인 단위 반복 소수 [1] 역시 배열하는 방법이 한 가지밖에 없으므로 무조건 재배열 가능 소수이다.
- 모든 회문이 아닌 재배열 가능 소수는 치환 가능 소수[2]이다. 자릿수를 거꾸로 뒤집어 배열하는 것도 재배열하는 것이기 때문. 즉, 113은 재배열 가능 소수이며, 비회문 소수이므로 거꾸로 뒤집은 311 역시 재배열하여 나온 치환 가능 소수이다.
3. 목록
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 113, 131, 199, 311, 337, 373, 733, 919, 991, [math(\dfrac{10^{19}-1}{9})] (1111111111111111111) , [math(\dfrac{10^{23}-1}{9})], [math(\dfrac{10^{317}-1}{9})], [math(\dfrac{10^{1031}-1}{9})], ...재배열했을 때 서로 같아지는 수를 하나로 통일해서 보면, 337 다음에 재배열 가능 소수가 한참 동안 나오지 않다가 1이 19개 늘어선 [math(\dfrac{10^{19}-1}{9})]이 나오는 셈이다. 991보다 큰 재배열 가능 소수는 모두 레퓨닛 소수이기 때문.
[1]
여기서 단위 반복 소수란 10진법에서의
레퓨닛 소수를 임의의 다른 진법으로 까지 확장해서 생기는 n진법에서 1이 늘어선 수 중 소수를 말한다. 진법과 상관없이 1이 늘어선 수가 무조건 소수여야 하며, 1이 늘어선 개수가 합성수이면 그 수를 같은 길이로 나눈 수로 나누어떨어진다.
[2]
여기서 말하는 치환 가능 소수란, 주어진 진법에서 자릿수를 거꾸로 뒤집어도 여전히 소수가 되는 소수이면서 회문 소수가 아닌 소수를 말한다. 때문에 한 자리수와 모든 자리수가 1인 레퓨닛 소수(단위 반복 소수)를 제외한 재배열 가능 소수는 이러한 특성 때문에 거꾸로 해도 소수가 되지만, 이들중에서 회문 소수를 제외하면 전부 치환 가능 소수가 된다. 단, 이 때에는 2와 5를 제외하면 모두 가장 큰 자리 수가 1, 3, 7, 9 중 하나여야 한다는 점. 이와 비슷하게, 주어진 진법에서 각 자리 숫자의 합을 한자리수가 될때까지 반복하여 얻어지는 수들도 모두 소수인 경우인 수소(물론 동물 수소나 원소 수소는 아니다)도 있다.