멱영행렬

선형대수학 Linear Algebra
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1. 개요2. 정의3. 대각화, 삼각화 가능 여부4. 성질5. 행렬의 크기에 따른 멱영행렬

5.1. 일차정사각행렬5.2. 이차정사각행렬5.3. 삼차정사각행렬5.4. 일반화

1. 개요

멱영행렬( 冪零行列, nilpotent matrix)이란 거듭제곱했을 때 성분이 모두 0인 행렬이 되는 행렬, 즉 영행렬의 제곱근행렬 또는 n제곱근행렬을 뜻한다.

2. 정의

어떤 자연수 [math(m)]에 대하여 [math(N^m=O)]를 만족시키는 정사각행렬[1] [math(N)]을 멱영행렬이라 한다.

3. 대각화, 삼각화 가능 여부

멱영행렬의 소멸다항식이 [math(x^m)]이므로, 최소다항식은 어떤 자연수 [math(r\leq m)]에 대하여 [math(x^r)]이고, 고유값은 0뿐이다. 따라서 대각화 가능하다면, 대각화 시 0행렬이 되므로, 대각화 가능한 멱영행렬은 0행렬밖에 없다. 한편, 최소다항식이 1차식 [math(x)]의 곱 꼴이므로, 항상 삼각화 가능하고, 삼각화 한다면, 대각 성분은 모두 0인 strictly triangular matrix가 된다.

4. 성질

n차 정사각행렬 중 영행렬은 n의 값에 관계없이 멱영행렬이다.

멱영행렬 [math(N)]에 대해서 [math(N^m=O)]가 성립할 때, 다음이 성립한다.

임의의 실수 [math(k)]에 대해 [math(kN)] 역시 멱영행렬이다.

증명 : [math((kN)^m=k^mN^m=k^mO=O)]

멱영행렬의 전치행렬 [math(N^T)] 역시 멱영행렬이다. 즉 [math((N^T)^m=O)]이다.

증명 : [math(N^m=O)]와 전치행렬의 성질 [math((N^k)^T=(N^T)^k)] ([math(k=1,2,...)])를 이용하면, [math((N^T)^m=(N^m)^T=O^T=O)]이므로 결론적으로 [math((N^T)^m=O)]가 성립한다.

임의의 행렬 [math(A)]에 대해서 [math((ANA^{-1})^m=(A^{-1}NA)^m=O)]
[math(N^{m+k}=O)] (단, [math(k=0,1,2,...)])

최소다항식이 1차식까지 인수분해되는 임의의 정사각행렬 [math(A)]에 대해, 다음 두 조건

[math(A=D+N)]
[math(DN=ND)]

을 동시에 만족시키는 대각화 가능한 행렬 [math(D)]와 멱영행렬 [math(N)]이 유일하게 존재한다. 특히 [math(A)]의 최소다항식 [math(p)]가 1차다항식 [math(p_{1},\cdots,p_{k})]에 대하여

[math(p={p_{1}}^{r_{1}} \cdots {p_{k}}^{r_{k}})]

로 인수분해될 때, [math(f_{i}=\displaystyle\prod_{j \neq i} {p_{j}}^{r_{j}})]라 하면, [math(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f_{i}g_{i}=1)] 을 만족시키는 다항식 [math(g_{1},\cdots,g_{n})]이 존재하는데, 다음이 성립한다.

[math(D=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}c_{i}f_{i}(A)g_{i}(A))]

5. 행렬의 크기에 따른 멱영행렬

5.1. 일차정사각행렬

일차정사각행렬 [math(A=\begin{pmatrix}a\end{pmatrix})]의 멱영행렬은 [math(a=0)]일 때의 영행렬 [math(A=\begin{pmatrix}0\end{pmatrix})]이 유일하다.

5.2. 이차정사각행렬

이차정사각행렬 [math(A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix})]에 대해 [math(A^2 = \begin{pmatrix}a^2+bc & b(a+d) \\ c(a+d) & bc+d^2\end{pmatrix})]가 영행렬이 되어서 [math(A)]가 멱영행렬에 속하기 위해서는, 즉 [math(A^2=O)]가 되려면 다음 중 하나의 꼴이어야 한다.

[math(d=-a)]일 때 : [math(a^2+bc=0)]을 만족시켜야 하므로 [math(A=\begin{pmatrix}a & b \\ -a^2/b & -a\end{pmatrix})] (단, [math(b\ne0)]) 꼴 또는 [math(A=\begin{pmatrix}a & -a^2/c \\ c & -a\end{pmatrix})] (단, [math(c\ne0)]) 꼴이다. 예를 들어 다음과 같다.

[math(a=b=k)]일 때 (단, [math(k\ne0)]) [math(A=\begin{pmatrix}k & k \\ -k & -k\end{pmatrix})] 꼴의 모든 행렬
[math(a=k, b=-k)]일 때 (단, [math(k\ne0)]) [math(A=\begin{pmatrix}k & -k \\ k & -k\end{pmatrix})] 꼴의 모든 행렬
[math(a=0, b=k)]일 때 [math(A=\begin{pmatrix}0 & k \\ 0 & 0\end{pmatrix})]
[math(a=0, c=k)]일 때 [math(A=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ k & 0\end{pmatrix})]

[math(b=c=0)]일 때

[math(a^2=0, d^2=0)]을 만족시켜야 하므로 유일한 해는 [math(a=d=0)], 즉 영행렬인 경우뿐이다.

5.3. 삼차정사각행렬

Wolfram Alpha에 따르면 삼차정사각행렬

[math(\begin{pmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{pmatrix})]

가 제곱했을 때 0이 되는 멱영행렬이 되기 위해서는 다음의 꼴 중 하나여야 한다.

[math(a=b=c=d=e=f=i=0)]
[math(a=b=c=d=g=0, h=-\displaystyle\frac{e^2}{f}, i=-e)] (단, [math(f\ne0)])
[math(a=b=c=0, g=-\displaystyle\frac{de}{f}, h=-\displaystyle\frac{e^2}{f}, i=-e)] (단, [math(f\ne0)])
[math(a=b=d=e=g=h=i=0)]
[math(e=\displaystyle\frac{bd}{a}, f=\displaystyle\frac{cd}{a}, g=-\displaystyle\frac{a^2+bd}{c}, h=-\displaystyle\frac{a^2b+b^2d}{ac}, i=-\displaystyle\frac{a^2+bd}{a})] (단, [math(a\ne0, c\ne0)])

5.4. 일반화

주대각선의 모든 성분이 0인 n차정사각행렬 중

[math(N_H=\begin{pmatrix} 0 & a_{12} & \cdots & a_{1(n-1)} & a_{1n} \\ 0 & 0 & \cdots & a_{2(n-1)} & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{(n-1)n} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\end{pmatrix})]

및 그 전치행렬의 꼴이라고 할 수 있는

[math(N_L=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ a_{21} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{(n-1)1} & a_{(n-1)2} & \cdots & 0 & 0 \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{n(n-1)} & 0\end{pmatrix})]
꼴의 행렬은 멱영행렬로, [math((N_H)^k, (N_L)^k)] (단, [math(k=1,2,...)])는 [math(k\geq n)]일 때 영행렬이 된다.

n차 정사각행렬 중 다음과 같은 경우는 제곱했을 때 영행렬이 되는 멱영행렬이다. 이때 [math(H_n, V_n)]은 서로 전치행렬 관계이다.

[math(H_n=\begin{pmatrix} a_1 & a_1 & \cdots & a_1 \\ a_2 & a_2 & \cdots & a_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_n & a_n & \cdots & a_n\end{pmatrix}, V_n=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_n\end{pmatrix})]

(단, [math(a_1+a_2+...+a_n=0)])

[1] 정사각행렬이 아닌 경우 행렬의 거듭제곱이 정의되지 않기 때문에 멱영행렬이 존재할 수 없다.