드루드 모형

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1. 개요2. 발상3. 모형4. 예측 결과

4.1. 운동 방정식4.2. 옴의 법칙

1. 개요

1900년에 폴 드루드 (Paul Drude) 가 제안한 금속 내 전자의 움직임을 설명하는 모형이다.

드루드 모형은 핀볼에 비유할 수 있다. 핀볼에서 구슬은 여러 가지 장애물에 부딪히면서 아래로 굴러 떨어지는 형태의 움직임을 보인다. 이때 구슬은 전자, 여러 가지 장애물은 금속 이온, 기울어진 테이블에 의한 중력은 전자에 작용하는 전자기력으로 생각하면 된다. 완전한 자유전자 모델에서는 전자의 바다에서 자유롭게 움직이지만 드루드 모델에서는 전자의 바다에 장애물들이 존재한다. 전자들은 이 장애물(금속 이온)에 부딪히면서 속도가 변하고 여러 가지 현상들을 설명할 수 있다.

2. 발상

19세기에 제시된 존 돌턴의 모형에서 원자는 단순한 입자였을 뿐이다. 그러나 1897년에 조지프 존 톰슨의 음극선관 실험으로부터 음전하를 띄는 전자가 존재한다는 사실이 밝혀졌다. 드루드는 이러한 전자들이 서로 상호작용을 하지 않는 기체라면 어떨까? 하는 가정 하에 이론을 전개했다.

또한 금속이 전기적으로 중성이라는 사실을 생각하면, 전자와 반대 전하를 가지는 양이온이 존재할 것이라 쉽게 도출해낼 수 있다. 드루드는 전자들이 금속 내에서 자유롭게 움직이다가, 일정 확률로 양이온에 충돌하는 운동을 한다고 보았고, 아래 4개의 가정을 통해 단순화된 모델로 물리 현상을 설명하고자 하였다.

전자는 각 양이온과의 충돌 사이에, 전자 및 양이온과 상호작용하지 않는다.
전자는 음전하를 띄고 있으므로 다른 전자 및 양이온과의 쿨롱 상호작용 (Coulomb interaction) 을 고려해주어야 하나, 모델을 단순화하기 위해 이들의 상호작용은 배제되었다.

전자는 양이온에 충돌[1]하며, 충돌 직후 즉시 무작위로 다른 속도를 가진다.
본래 전자가 양이온으로 다가갈 때에는, 양이온의 전기장에 의해 전자에 전기력이 중심력 (central force) 으로 작용하여 산란하게 된다. 이런 연유로 고전역학을 이용하여 전자의 움직임을 계산하기 번거로워지게 되는 면이 있다. 그러나 첫 가정으로부터 전자와 양이온 사이의 상호작용을 무시할 수 있으므로, 전자의 산란은 일어나지 않고 다만 운동 방향이 무작위적으로 바뀐다고 생각할 수 있다. 운동 방향이 완전히 무작위이므로 충돌 직후 전자의 운동량의 평균은 [math(\mathbf{0})]이다.

전자가 양이온과 충돌할 확률은 전자의 운동 상태와 무관하다.
전자가 단위 시간 동안 충돌할 확률을 [math(1 / \tau)] 로 두어 어떤 변수에도 무관하다고 생각한다. 여기서 $\tau$ 는 mean free time, relaxation time 등으로 불린다. 다르게 말하면 전자는 시간 [math(\tau)] 동안 평균 1번 충돌하며, 시간 [math(t)] 안에 충돌할 확률은 푸아송 분포를 따른다.

전자는 양이온과의 충돌로만 주변 (substance) 과 열적 평형에 도달할 수 있다.
온도 그라디언트가 있는 상황에서, 전자는 주변과 열교환을 하지 않는다고 가정한다. 오직 충돌 시에만 열교환이 일어나며, 그 결과는 충돌 후 전자의 속도에 반영된다.

3. 모형

간단한 드루드 모델의 그림. +로 표시한 오렌지색 원은 금속 이온을 나타내고 파란색 원은 전자를 나타낸다. 금속 이온을 제외한 부분은 전자의 바다라고 생각하면 된다. 전자는 자유롭게 이동하다가 금속 이온에 부딪히고 속도가 줄어 들었다가 전기장에 의해 가속되고 다시 금속 이온에 부딪히면서 이동한다.

4. 예측 결과

4.1. 운동 방정식

전자의 시간에 따른 평균 운동량을 [math(\mathbf{p}(t))]라고 하자. 이때 [math(\mathrm{d}t)]만큼의 시간이 흐르면, 전자가 충돌해서 평균 운동량이 [math(\mathbf{0})]이 될 확률은 [math(\mathrm{d}t/\tau)]이다. 따라서 충돌을 하지 않을 확률은 [math(1-\mathrm{d}t/\tau)]이며, 이 경우 외부 힘 [math(\mathbf{F})]가 작용하여 뉴턴의 운동법칙을 따라서 [math(\mathrm{d} \mathbf{p} = \mathbf{F} \mathrm{d}t)]만큼의 충격량을 받는다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{p}(t+\mathrm{d}t) = \left(1 - {\mathrm{d}t \over \tau}\right) \left(\mathbf{p}(t) + \mathbf{F} \mathrm{d}t \right) + {\mathrm{d}t \over \tau} \mathbf{0} \end{aligned} )]

이 식을 [math(\mathrm{d}t)]를 0으로 보내는 극한에서 다음과 같이 정리할 수 있다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathbf{p}(t+\mathrm{d}t) - \mathbf{p}(t)}{\mathrm{d}t} = \mathbf{F} - \frac{\mathbf{p}(t)}{\tau} \end{aligned} )]

이때 외력 [math(\mathbf{F})]는 로런츠 힘이고, 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} = -e \left( \mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right) - \frac{\mathbf{p}(t)}{\tau} \end{aligned} )]

4.2. 옴의 법칙

외부에 전기장이 걸려 있는 경우 운동 방정식은 다음과 같다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} = -e \mathbf{E} - \frac{\mathbf{p}(t)}{\tau} \end{aligned} )]

한편, 시간이 충분히 흐르면 운동량이 변하지 않는 상태가 되어 [math(\mathrm{d}\mathbf{p} / \mathrm{d}t = \mathbf{0})]이다. 이러한 상태를 정상 상태(steady-state)라고 한다. 이때 전자의 평균 속도를 [math(\mathbf{v})]라고 하면, 정상 상태에서 전자의 운동량은 다음과 같다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{p} = m \mathbf{v} = -e \tau \mathbf{E} \end{aligned} )]

따라서 전자의 개수 밀도를 [math(n)]이라고 하면, 물질에 흐르는 전류 밀도 [math(\mathbf{J})]는 다음과 같다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{J} = - n e \mathbf{v} = \frac{n e^2 \tau}{m} \mathbf{E} \end{aligned} )]

즉, 드루드 모형에서 전류 밀도와 전기장은 비례한다. 이 비례 상수를 도전율( 導電率) [math(\sigma)]라고 정의하면, [math(\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E})]를 얻는다. 이것을 옴의 법칙이라고 한다.

[1] 여기서 충돌은 산란에 대비되는 뜻으로 사용하였으며, 두 입자 사이 상호작용이 무시할 정도로 작다는 의미이다.